Historique de la linéarisation trigonométrique

Bonjour

Voilà l'historique de mon cheminement pour les personnes intéressées.

1) je m'étais demandé quelle distance on parcourait d'un point à un autre sur une sinusoïde.

C'est donc une abscisse curviligne.

Pour une courbe `y(x)` , on peut écrire `ds^2 = dx^2 + dy^2`   où ` \ ds \ ` est l'hypothénuse du triangle qui suit le morceau de courbe lors d'un incrément `dx`.

et :

` ds^2 = dx^2(1 + ((dy)/(dx))^2)`

`(ds)/(dx) = sqrt(1 + ((dy)/(dx))^2)`  ,`\ ds` étant l'abscisse curviligne.

Si `\ y=sin(x)\ ` on doit calculer   ` s = int_a^b sqrt(1 + cos^2(x))\ dx `  ce qui ne s'intègre pas directement.

J'ai donc pris la série du binôme qui dit que pour ` abs(x) "<" 1 ` et ` alpha ` réel, il y a convergence pour :

` (1 + x)^alpha = 1 + alpha x + (alpha(alpha - 1))/(2!)x^2 + (alpha(alpha - 1)(alpha - 2))/(3!)x^3 + . . . . .`

et j'ai remplacé `x` par `cos^2x \ ` avec `\ alpha = 1/2 `

Si `\ x=1\ ` et `\ alpha = 1/2 `, `\ (1 + x)^alpha = sqrt2 `  et on est toujours convergent.

On obtient alors le développement :

` (1 + cos^2x)^(1/2) = 1 + 1/2 cos^2x + (1/2(1/2 - 1)) / (2!)cos^4x + (1/2(1/2 - 1)(1/2 - 2)) / (3!)cos^6x + . . . . `

` = 1 + 1/2 cos^2x + 1/8 cos^4x + 1/(16) cos^6x + . . . . . . `

C'est à la suite de ce résultat que j'ai commencé à linéariser ` cos^nx `.

J'en étais arrivé là par curiosité.

2) En appliquant la formule trigonométrique classique :

` cosa cosb = 1/2 (cos(a+b) + cos(a-b)) `

Les linéarisations successives ont été les suivantes :

` cos^2x = 1/2(1 + cos2x) `

` cos^3x = cosx cos^2x = cosx(1/2(1 + cos2x)) `

` = 1/2(cosx + cosx cos2x) `

` = 1/2(cosx + 1/2(cos3x + cosx)) `

` = 1/2(1/2(2cosx + cos3x + cosx)) `   j'ai préféré avoir un coefficient en facteur.

` = 1/4(cos3x + 3cosx) `

` cos^4x = cosx cos^3x = cosx(1/4(cos3x + 3cosx)) `

` = - - - - - - - - `

` = 1/8(cos4x + 4cos2x + 3) `   toujours en appliquant la même méthode.

Et j'ai continué jusqu'à ` cos^8x \ `, la seule astuce étant de mettre en facteur les coefficients fractionnaires trouvés afin d'avoir une vision plus claire des autres coefficients.

Après ces calculs un peu fastidieux mais simples, j'ai obtenu le tableau évolutif suivant :

n = 1    1
n = 2   (1   1) x 1/2
n = 3   (1   3) x 1/4
n = 4   (1   4   3)  x 1/8
n = 5   (1   5   10) x 1/16
n = 6   (1   6   15   10) x 1/32
n = 7   (1   7   21   35) x 1/64
n = 8   (1   8   28   56   35) x 1/128

La similitude avec le triangle de PASCAL étant flagrante pour passer d'une ligne à la suivante :

n = 3   1 + 3 = 4 
n = 4   1 + 4 = 5 
n = 5   1 + 5 = 6    et   5 + 10 = 15
n = 6   1 + 6 = 7    et   6 + 15 = 21

etc . . .

avec aussi le décalage des termes en bout de ligne, par groupe de 2 lignes :

n = 1    1
n = 2        1

n = 3        3
n = 4            3

n = 5            10 
n = 6                 10

n = 7                 35
n = 8                      35

etc . . .

Seuls restaient les passages  1 à 3,   3 à 10,  10 à 35,  . . . .  :

n = 1    1
n = 2    1   1
             |
n = 3        3
n = 4        4   3
                 |
n = 5            10 
n = 6            15   10
                       |
n = 7                 35
n = 8                      35

etc . . .

Mais en me disant intuitivement qu'il devait y avoir une règle simple, j'ai vu que :

n = 2   1 + 2 x 1 = 3
n = 4   4 + 2 x 3 = 10
n = 6   15 + 2 x 10 = 35

la multiplication par 2 étant systématique.

Voilà les règles de construction du tableau genre PASCAL, pour obtenir les coefficients de linéarisation de ` cos^nx `.

Pour ` sin^nx ` j'ai suivi la même démarche.

Et je me suis aperçu immédiatement que je retrouvais les mêmes coefficients que pour ` cos^nx ` ,   seulement pondérés par le signe " - " de manière répétitive et prévisible.

L'autre différence étant que pour n impair le développement est en sinus, et en cosinus pour n pair.